Карьера Энди началась неординарно. Он написал письмо в Стокпорт Каунти с просьбой пройти в этом клубе просмотр, по итогам которого Уэлш и был принят в клуб. В итоге, Энди в период с 2001 по 2004 год провел за Стокпорт 85 матчей и забил 3 гола. В этот же период Уэлш вызывался в молодежную сборную Шотландии U19.

В 2004 году Энди попал в поле зрения скаутов Сандерленда, куда и перешел за символическую сумму в 15,000 фунтов. Уэлшу досталась футболка с 11-м номером, а его дебют пришелся на матч 1 января против Престона. Через неделю полузащитник впервые вышел в стартовом составе Котов и со штрафного забил первый гол за Сандерленд.

Вскоре Коты завоевали путевку в Премьер Лигу, в которой Уэлш дебютировал, подменяя травмированного защитника. Во втором туре сезона 2004/05 он был удален в спорном эпизоде матча против Ливерпуля. Позже дисциплинарный комитет признал решение арбитра неверным и отменил дисквалификацию Уэлша.

Потеряв место с основе, в начале 2006 года Энди был отдан в аренду Лестеру из Чемпионшипа. Он провел за Лис 10 игр и помог им избежать вылета. Вернувшись в Сандерленд, Уэлш успел сыграть в двух последних турах Премьер Лиги – против Фулхэма и Астон Виллы.

Несмотря на то, что Сандерленд летом 2006 года подписал аргентинского полузащитника Хулио Арку, Уэлш рассматривался основным левым полузащитником клуба. Прервала карьеру Энди в Сандерленде травма, полученная в предсезонной игре против Шелбурна. Новый тренер клуба Рой Кин, чтобы закрыть позицию левого полузащитника, купил игрока сборной Швеции Тобиаса Хюсена и молодого шотландца Уоллеса из Селтика. А Уэлшу, восстановившись после травмы, пришлось вновь отправиться в аренду в Лестер.

Следующим шагом в карьере Уэлша был Торонто из МЛС, который договорился с Сандерлендом о трансфере полузащитника. Проведя за Торонто всего 20 игр, Энди в том же 2007 году вернулся в Англию, подписав контракт с Блэкпулом. В сезоне 2007/08 он провел 21 игру в Чемпионшипе, в основном выходя на замены.

Летом 2008 года Уэлш вновь сменил клуб, перейдя в Йовил из Лиги 1. В первом же сезоне за новый клуб Энди отдал 7 голевых передач, заслужив продление контракта на два года. В сезоне 2009/10 Уэлш отдал уже 10 голевых, оставаясь ведущим ассистентом в клубе. Но в конце сезона 2010/11 Йовил уведомил вингера, что с ним не будет продлен контракт. Всего за Йовил Уэлш провел 113 игр и забил 6 голов.

Следующим клубом Энди стал Карлайл, за который он провел следующие два сезона, выходя на поле 33 раза, а последним клубом Уэлша стал Сканторп Юнайтед, выступавший в сезоне 2013/14 в Лиге 2.

В сентябре 2014 года Уэлш перешел в Юнайтед оф Манчестер.

Кстати, Энди является заядлым болельщиком Манчестер Юнайтед.