Мэтти начал свой футбольный путь в академии Сандерленда, где играл на позиции форварда. В 14 лет Элсдон сменил не только клуб, но и позицию: перейдя в Мидлсбро, Мэтти стал играть в центре защиты.

Именно с Мидлсбро Элсдон выиграл молодежную Премьер Лигу Англии, добыв путевку в юношескую Лигу Чемпионов сезона 2015/16. Боро достаточно уверенно выступил в том турнире, дойдя до 1/8, где его выбил ПСЖ. По дороге Элсдон и компания выбили из турнира киевское Динамо, разгромив их на своем поле 5-0. Мэтти принял участие во всех играх того розыгрыша юношеской Лиги Чемпионов.

В этот же период Элсдон провел четыре игры за сборную Англии U-17.

В 2017 году защитника отдали в аренду в Инвернесс Каледониан Тисл из второго шотландского дивизиона. За этот клуб Элсдон провел восемь игр, после чего Мидлсбро решил не продлевать с ним контракт.

В 2018 молодым защитником заинтересовался Барроу, в котором он и продолжил карьеру. Именно из этого клуба в начале 2020 года он отправился в аренду в ЮМ.