Браунхилл – воспитанник Стокпорт Каунти. Правда, закрепиться в основе клуба ему не удалось, и в 19 лет Лиам в качестве свободного агента перешел в стан двукратного на тот момент чемпиона Уэльса Бангор Сити.

Закрепиться в валлийском чемпионате Лиаму не удалось, и он вернулся в Англию, перейдя в Уиттон Альбион. За этот клуб Браунхилл отыграл три года, после чего в сезоне 2008/09 пошел на повышение в Дройлсден, выступавший тогда в Северной Конференции.

Проведя три года в Дройлсдене, Лиам перешел в Честер, где провел всего один сезон, вернувшись в Бангор Сити, в котором когда-то не смог закрепиться. Спустя год, летом 2013 года Лиам перешел в ФК Юнайтед.

Браунхиллу сходу удалось стать основным правым защитником клуба. Во многом благодаря его удачным подключениям к атакам ЮМ удавалось до последнего тура бороться за чемпионство. Браунхилл славится точными передачами с фланга, исполняет все угловые и штрафные с флангов. В дебютном сезоне за Юнайтед ему удалось отдать более десяти голевых передач, а также завоевать звание игрока года по двум версиям: игроков и тренеров.